`x+my=m+1=>x=m+1-my` thế vào dưới

`=>m(m+1-my)+y-3m+1=0`

`<=>m^2+m-my^2+y-3m-1`

`=>y(1-m^2)=2m-1-m^2`

Hệ có no duy nhất

`=>1-m^2 ne 0=>m ne +-1`

`=>y=(-1+2m-m^2)/(1-m^2)=(m-1)/(m+1)`

`=>x=m+1-my=((m+1)^2-m(m-1))/(m+1)=(3m+1)/(m+1)`

`=>xy=((3m+1)(m-1))/(m+1)^2=(3m^2-2m-1)/(m+1)^2`

Xét `xy+1`

`=(3m^2-2m-1+m^2+2m+1)/(m+1)^2=(4m^2)/(m+1)^2`

`=>xy+1>=0=>xy>=-1`

Dấu "=" xảy ra khi `m=0`

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{4}\)

=>\(m^2\ne4\)

=>\(m\notin\left\{2;-2\right\}\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=1\\mx+4y=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\m\left(1-my\right)+4y=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\m-m^2\cdot y+4y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\y\left(-m^2+4\right)=2-m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1-my\\y=\dfrac{-\left(m-2\right)}{-\left(m^2-4\right)}=\dfrac{1}{m+2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{m+2}\\x=1-\dfrac{m}{m+2}=\dfrac{m+2-m}{m+2}=\dfrac{2}{m+2}\end{matrix}\right.\)

x+y>-5

=>\(\dfrac{2}{m+2}+\dfrac{1}{m+2}>-5\)

=>\(\dfrac{3}{m+2}+5>0\)

=>\(\dfrac{3+5m+10}{m+2}>0\)

=>\(\dfrac{5m+13}{m+2}>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}5m+13>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{13}{5}\\m>-2\end{matrix}\right.\)

=>\(m>-2\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}5m+13< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{13}{5}\\m< -2\end{matrix}\right.\)

=>\(m< -\dfrac{13}{5}\)

Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}m< -\dfrac{13}{5}\\\left\{{}\begin{matrix}m>-2\\m\ne2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

a:

Để hệ có nghiệm duy nhất thì m/2<>-2/-m

=>m^2<>4

=>m<>2 và m<>-2

Lời giải:
Từ PT$(1)\Rightarrow x=m+1-my$. Thay vô PT(2):

$m(m+1-my)+y=3m-1$

$\Leftrightarrow y(1-m^2)+m^2+m=3m-1$

$\Leftrightarrow y(1-m^2)=-m^2+2m-1(*)$

Để hpt có nghiệm $(x,y)$ duy nhất thì pt $(*)$ cũng phải có nghiệm $y$ duy nhất 

Điều này xảy ra khi $1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1$
Khi đó: $y=\frac{-m^2+2m-1}{1-m^2}=\frac{-(m-1)^2}{-(m-1)(m+1)}=\frac{m-1}{m+1}$

$x=m+1-my=m+1-\frac{m(m-1)}{m+1}=\frac{3m+1}{m+1}$

Có:

$x+y=\frac{m-1}{m+1}+\frac{3m+1}{m+1}=\frac{4m}{m+1}<0$

$\Leftrightarrow -1< m< 0$

Kết hợp với đk $m\neq \pm 1$ suy ra $-1< m< 0$ thì thỏa đề.

Bài 1.

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\2x+y=3\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\6x+3y=9m+9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m+14\\x-3y=5-2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\m+2-3y=5-2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\-3y=-3m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\y=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_0^2+y_0^2=9m\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+\left(m-1\right)^2=9m\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2-2m+1-9m=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-7m+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) ( Vi-ét )

em tham khảo câu e cuối ấy , đó là câu a của e á: